Fonctions usuelles et dérivées
Les fonctions usuelles en économie :
– affines : f(x) = ax + b (demande linéaire, coût à coût marginal constant) ;
– puissances : f(x) = xⁿ, √x = x^(1/2), 1/x = x⁻¹ (fonctions de production, d’utilité) ;
– exponentielle : f(x) = eˣ, avec e ≈ 2,718 (croissance continue) ;
– logarithme népérien : ln x, défini pour x > 0, réciproque de l’exponentielle (ln(ab) = ln a + ln b ; ln(aⁿ) = n·ln a ; ln 1 = 0 ; ln e = 1).
La dérivée f′(x₀) est la pente de la tangente à la courbe en x₀ : la limite de [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h quand h tend vers 0. Elle mesure la variation instantanée de f.
📌 À retenir
Dérivées usuelles :
| f(x) | f′(x) |
|—|—|
| k (constante) | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
Règles : (u + v)′ = u′ + v′ ; (k·u)′ = k·u′ ; (u·v)′ = u′v + uv′ ; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² ; (eᵘ)′ = u′·eᵘ ; (ln u)′ = u′/u ; (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹.
Interprétation économique : la dérivée est une grandeur marginale :
– coût marginal Cm(Q) = CT′(Q) : coût de production approximatif d’une unité supplémentaire ;
– recette marginale Rm(Q) = RT′(Q) ;
– utilité marginale, productivité marginale.
🌍 Exemple
CT(Q) = 2Q² + 10Q + 500. Cm(Q) = 4Q + 10. À Q = 20 : Cm = 90 : produire la 21e unité coûte environ 90 (exactement CT(21) − CT(20) = 1 592 − 1 500 = 92).